计算 $\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{50\times51}$
题：请计算 $\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{50\times51}$
解题思路
可以尝试计算前面几项分数的相加，逐步看出规律，并总结出需要的公式。
公式：$\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)\times(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}$
公式推导：
$$
\begin{aligned}
&\quad\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)\times(n+2)} \
&=\frac{n\times(n+2)+1}{(n+1)\times(n+2)} \
&=\frac{n^2+2n+1}{(n+1)\times(n+2)} \
&=\frac{(n+1)^2}{(n+1)\times(n+2)} \
&=\frac{n+1}{n+2}
\end{aligned}
$$
如上所示的公式，所以：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2\times3}=\frac{2}{3}$、$\frac{2}{3}+\frac{1}{3\times4}=\frac{3}{4}$…，以此类推
$$
\begin{aligned}
&\quad\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{50\times51} \
&=\frac{2}{3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{50\times51} \
&=\frac{3}{4}+\cdots+\frac{1}{50\times51} \
&=\frac{50}{51}
\end{aligned}
$$